Mémoires de la Société mathématique de France, n° 171. On the evolution by duality of domains on manifolds

Sur une variété, considérons une diffusion elliptique X de mesure invariante μ. Le but de ce papier est d'introduire et d'étudier les premières propriétés d'évolutions stochastiques de domaines (D_t)_tЄ[0,τ] qui sont des processus duaux par entrelacement de X (où τ est un temps d'arrêt strictement positif précédant l'apparition éventuelle de singularités). Il s'agit d'une extension du théorème de Pitman, puisqu'il ressort que (μ(D_t))_tЄ[0,τ] est un processus de Bessel-3, à un changement naturel de temps près. Quand X est un mouvement brownien sur une variété compacte, ce processus dual à valeurs domaines est une modification stochastique du flot par courbure moyenne auquel est ajouté une dérive fournie par un quotient isopérimétrique qui l'empêche de s'effondrer en des singletons.

On a manifold, consider an elliptic diffusion X admitting an invariant measure μ. The goal of this paper is to introduce and investigate the first properties of stochastic domain evolutions (D_t)_tЄ[0,τ] which are intertwining dual processes for X (where τ is an appropriate positive stopping time before the potential emergence of singularities). They provide an extension of Pitman's theorem, as it turns out that (μ(D_t))_tЄ[0,τ] is a Bessel-3 process, up to a natural time-change. When X is a Brownian motion on a Riemannian manifold, the dual domain-valued process is a stochastic modification of the mean curvature flow to which is added an isoperimetric ratio drift to prevent it from collapsing into singletons.